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数集r表示什么(r是什么数集(数集是怎么定义的))

第五讲 函数的概念

定义1

D与M是R中的非空数集,若有对应法则f,使D内的每一个数X,都有唯一的一个数y∈M与它相对应,则称f是定义在D上的函数,记作 f : D-m, x-y

D称为f的定义域;f(D)={y|y=f(x),x∈D}称为f的值域;G={(x,y)|y=f(x),x∈D}称为f的图像。

注1 函数有定义域D和对应法则f二要素完全决定,因此若给出函数的定义域和对应法则,就确定了函数,它与自变量和因变量的符号无关。

注2 表示函数有多种方法,常见的有:解析法、数值法和图像法。

解析法表示函数时,若没有特别指明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体,即存在域。

函数的四则运算

设函数f的定义域为Df,函数g的定义域为Dg:

1.f±g的定义域为Df±g=Df ∩ Dg,且∀x∈Df ∩ Dg,(f±g)(x)=f(x)±g(x);

2.f*g的定义域为Df*g=Df ∩ Dg,且∀x∈Df ∩ Dg,(f*g)(x)=f(x)*g(x);

3.f/g的定义域为Df/g=Df ∩ D*,其中D*={x|x∈Dg,且g(x)不等于0},且∀x∈Df/g,(f/g)(x)=f(x)/g(x);

复合函数

设函数f的定义域为Df,函数g的定义域为Dg:

复合函数f。g的定义域为Df。g={x|x∈Dg,且g(x)∈Df},则∀x∈Df。g,f。g(x)=f(g(x));

g(x)为内函数,f(x)为外函数

反函数

若函数f的定义域为Df,满足:∀y∈f(D),∃唯一x∈D,使f(x)=y,

则存在函数f-¹,Df-¹=f(D),且∀y∈f(D),f-¹(y)=x,其中x是使f(x)=y的唯一的c∈D。

注 反函数表示式f-¹(y)=x中,y是自变量,x是因变量。由于函数与自变量、因变量的记号无关,因此一般反函数f-¹记为y=f-¹(x)。

反函数与原函数图像关于y=x对称

初等函数

定义1

以下六类函数称为基本初等函数:

(1)常量函数 y=c(c为常数);

(2)幂函数y=x^a(a为实数);

(3)指数函数 y=a^x(a0,a不等于1);

(4)对数函数 y=loga x(a0,a不等于1);

(5)三角函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x,y=cot x;

(6)反三角函数 y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x,y=arccot x;

定义2

定义3

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的的函数,称为初等函数。

狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数。

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