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内切圆半径公式怎么推(内切圆半径万能公式推导(正五边形内切圆半径万能公式))

在上篇文章中,我介绍二倍角三角形作图原理以及《几何原本》中用尺规作圆的内接正五边形的方法,不过圆的内接正五边形的作图过程有些繁琐。这篇文章,我将向大家介绍一种更简单的尺规作圆的内接正五边形的方法。

由于作图(圆的内接正五边形)过程需要用到二倍角三角形的作图原理,这里我还是先向大家介绍二倍角三角形的原理。

1、二倍角三角形的原理:

证明:

1、任取一条线段AB,在AB上取一点C,使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。(第2卷 命题11)(具体作图方法及原理,详见我的文章《《几何原本》-几何代数的基本原理(2)-命题1~命题14》中的命题11的证明过程)

2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE。

3、作圆BDE的拟合线BD,使BD=AC。(第4卷 命题1)

4、连接AD和DC,作三角形ACD的外接圆ACD。(第4卷 命题5)

5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积,AC=BD,所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积,于是BD与圆ACD相切。(第3卷 命题37)

6、因为BD与圆相切,DC是过切点D的圆的拟合线,所以角BDC等于相对弓形上的角DAC。(第3卷 命题32)

7、因为角BDC=角DAC,两边同时加上角CDA,所以角BDA=角CDA 角DAC。

8、又因为外角BCD=角CDA 角DAC(第1卷 命题32),所以角BDA=角BCD。

9、又因为AB=AD,所以角BDA=角CBD。(第1卷 命题5)

10、所以角BCD=角CBD,于是DB=DC。(第1卷 命题6)

11、又因为BD=CA,所以DC=CA,所以角CDA=角CAD(第1卷 命题5)

12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍,又角BCD=角CDA 角CAD,于是角BCD是角DAC的二倍。

13、又因为角BCD=角BDA=角DBA,所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。

14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。

证明完毕。

2、圆的内接正五边形的快速作图方法:

有了二倍角三角形作图原理的铺垫,我们便能只使用尺规快速作出圆的内接正五边形,以下是作图的方法:

步骤1:任取一条线段OA,延长AO至a。

步骤2:以O为圆心,OA为半径作圆与Oa相交于b,此时Ob=OA。

步骤3:去除多余的辅助线,此时Ob=OA。

步骤4:以b为圆心,bA为半径作圆;以A为圆心,Ab为半径作圆。两圆相交于c、d,连接cd与bA相交于O点。

步骤5:去除多余的辅助线。

步骤6:以O为圆心,OA为半径作圆,交Od于e。分别以e、A为圆心,eO、AO为半径作圆,两圆交于f,连接ef、fA。

步骤7:去除多余的辅助线,此时AOef是正方形。

步骤8:以O为圆心,Oe为半径作圆;以e为圆心,eO为半径作圆,连接两圆交点所形成的直线与Oe相交于g点。

步骤9:去除多余的辅助线,此时AOef是正方形,g是Oe中点。

步骤10:延长eO至h,以g为圆心,gA为半径作圆,圆与eh相交于i。

步骤11:去除多余辅助线。

步骤12:以O为圆心,Oi为半径作圆,圆与OA相交于M。

步骤13:以O为圆心,OA为半径作圆;以A为圆心,OM长度为半径作圆,两圆相交于N。

步骤14:连接ON、MN、AN,此时角ONA=角A=2角AON,即角ONA=角A=72°,角AON=36°。

步骤15:去除多余辅助线,此时在三角形AON中,角A=角N=72°,角O=36°。

步骤16:以N为圆心,NA为半径作圆(浅蓝色)与圆(黑色)相交于B点,连接NB、OB、AB,此时角AOB=2角AON=72°

步骤17:分别以A、B为圆心,AB、BA为半径作圆(浅蓝色),与圆(黑色)相交于E、C,连接AE、BC、OC、OE。

步骤18:以E为圆心,EA为半径作圆(浅蓝色)与圆(黑色)相交于D,连接DE、DC、DO,去除多余辅助线。

步骤19:去除多余辅助线,此时AB=BC=CD=DE=EA,角AOB=角BOC=角COD=角DOE=角EOA=72°,ABCDE是正五边形。

步骤20:去除多余辅助线,此时ABCDE是圆的内接正五边形。

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